来源头条作者:海韵教育
小学数学到中学数学的标志就是从算术过渡到了代数，而其中最明显的特征就是开始用字母来表示数。这个变化看似很简单，以至于课本中只用了一节课就完成了“字母表示数”，然而在数学的历史长河中，这一过渡足足用了三千余年！ 在从算术到代数的学习过程中，“鸡兔同笼”问题最经典：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”（有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔？） 下面我们将以此为例展开对代数的探讨。 一、代数的历史 代数的历史分为三个阶段：修辞代数阶段，缩略代数阶段，符号代数阶段。 修辞代数阶段可追溯到公元前1700年前的古埃及和古巴比伦时期，这段时期没有符号，数学问题完全用语言文字来表达，例如上述鸡兔同笼问题，如果用修辞代数来表述，应该是这个样子的：头数35乘以4，减去脚数94，再除以每只兔子比鸡多出的脚数2，就得到鸡的数量。 好家伙！让你这样子学数学，开心吗？ 历史的车轮滚滚向前，转眼间来到了两千年后的公元3世纪，大佬丢番图出现了，他在其著作《算术》中首次引入了字母来代表数，代数的发展就此进入了缩略代数的阶段，不过这个阶段对字母的认知仅仅停留在将它看作未知数的层面上，此时已经可以完美解决鸡兔同笼了：设鸡有x只，则2x＋4（35－x）＝94，解得x＝23。 时间又向前滚动一千三百年，来到了16世纪，第二个大佬韦达出现了，他在其著作《分析术入门》中开始系统性地运用字母来代表数，代数由此进入了符号代数阶段，并有了长足发展，字母不仅可以代表未知数，也可以代表已知数，甚至可以代表任意数，至此也就有了我们今天熟悉的代数的样子。 二、代数与算术的区别 那么，代数相较算术的进步，仅仅是增加了字母吗？ 非也！ 字母的出现固然极大地简化了数学关系的描述，让数学变得更具象了，但是作为跨越了三千多年的划时代变革，代数相比于算术还有三个明显的区别： 1．运算律的继承与发展 四则运算的运算律——交换律、结合律、分配律——在算术学习阶段便已学过，但是这些运算律在算术阶段并未得到充分的利用，例如分配律，在算术阶段其实是不怎么需要分配律的，课本上说：在有括号的算式里，先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号。也即是说，对于2×（35－10），算术的解法是先算35－10＝25，再乘以2；但是这种算法对于2x＋4（35－x）就没办法了，因为x是个字母，并不是数，你没办法先算出35－x的值。 而在代数中，对于字母x，虽然我们不知道它是几，但我们知道它必然是一个数，而运算律既然对所有数都成立，那对于未知数当然也成立，至此，我们就可以充分利用运算律，对代数关系式作简化运算，如4（35－x）＝4×35－4x，从而逐步化未知为已知。 在日常教学中，遇到过很多学生，在小学时数学学得好好的，可是一到初中接触了代数以后，数学就开始渐渐跟不上了。我们常常会认为他们在“把字母想象成数”上遇到了困难，可是你说他们能理解这个字母其实是代表着一个数吗？ 大多同学其实是能理解的。 那么他们真正卡在了哪里呢？ 个人认为，他们更多人是在“字母对运算律的继承”上遇到了坎。这些学生在解方程2x＋4（35－x）＝94时，第一时间想的是去括号吗？不是，他们想的是不停地给x赋值，然后带进去尝试，因为给x赋了值，他们才会算这个括号。 因此对于老师，应该要指导学生如何让字母与数字一样参与到运算律的运用中去。 2．思维方式的转变 从算术到代数，在思维方式上可谓是180°的转变，还是以鸡兔同笼为例，若是用算术方法来解，相信你们都听老师讲过：“假设这些鸡和兔子像军队一样训练有素，我一声哨响，所有的鸡和兔子全部抬起两只脚，然后所有鸡都一屁股坐在了地上，这时候还站立的脚数94－35×2＝24就是所有兔子剩下的两只脚之和，所以兔子有12只”。这时候，倘若你问老师：“老师你咋这么机智呢？你咋想到的？”老师多半就支支吾吾了。因为老师在讲之前，其实心里已经有式子了：兔子＝（94－2×35）÷2，这个式子怎么来的呢？ 我们设兔子为y只，则4y＋2（35－y）＝94，化简得2y＝94－35×2，y＝（94－35×2）÷2。 知道了吧！老师并不是比你更机智，只是比你更鸡贼，他利用了代数方法去反推了算术方法。不过这个例子很好地说明了二者在思维方式上的区别，算术方法是由已知推未知，是逆向的思维方式，对思维能力的要求很高，而代数方法将未知数等同于了已知数，可以正向进行列式，在思维难度上大大降低了，这里我们也对数学有了另一层认知：随着数学的发展，有时候问题并不是变得愈来愈复杂，而是变得更加简单，我们认识世界的能力也愈来愈强。 3．“＝”的再认识 代数中的“＝”与算术中的“＝”是有本质上的区别的，在算术中，“＝”表示的并不是“等于”，而是“得出”，这是一个结果符号；而在代数中，“＝”则表示的是“等于”，是一个关系符号，它只表示等号的左边和右边是相等的，而非右边是左边得出的结果。 例如，对于算术阶段的学生来说，等式2x＋4（35－x）＝94大致是可以理解的，然而4（35－x）＝94－2x很多学生在理解上就遇到困难了，他会困惑于为什么4（35－x）会得出94－2x这个结果，这里也就明白为什么小学阶段所学的简易方程只停留在x在等号左边的情形了。 在系统地学习代数方程时，需明白 “＝”是天平，表示左右两边处于相等的关系，可以通过左右两边来回配平得到x＝a的形式，这也就是解方程的本质了。从这层意义上说，解方程虽是代数的优秀才艺，但研究代数并不只是为了解方程，更是为了能让我们根据实际需求与个人的喜好，在各个等价的不同式子之间来回变换，这也是对马斯洛需求层次中最高层次的个人自我需求的满足。 面对一个数量间存在抽象关系的问题，若想解答它，只需要把问题从普通语言转换成代数语言。—— 牛顿《普遍的算术》#pgc-card .pgc-card-href { text-decoration: none; outline: none; display: block; width: 100%; height: 100%; } #pgc-card .pgc-card-href:hover { text-decoration: none; } /*pc 样式*/ .pgc-card { box-sizing: border-box; height: 164px; border: 1px solid #e8e8e8; position: relative; padding: 20px 94px 12px 180px; overflow: hidden; } .pgc-card::after { content: " "; display: block; border-left: 1px solid #e8e8e8; height: 120px; position: absolute; right: 76px; top: 20px; } .pgc-cover { position: absolute; width: 162px; height: 162px; top: 0; left: 0; background-size: cover; } .pgc-content { overflow: hidden; position: relative; top: 50%; -webkit-transform: translatey(-50%); transform: translatey(-50%); } .pgc-content-title { font-size: 18px; color: #222; line-height: 1; font-weight: bold; overflow: hidden; text-overflow: ellipsis; white-space: nowrap; } .pgc-content-desc { font-size: 14px; color: #444; overflow: hidden; text-overflow: ellipsis; padding-top: 9px; overflow: hidden; line-height: 1.2em; display: -webkit-inline-box; -webkit-line-clamp: 2; -webkit-box-orient: vertical; } .pgc-content-price { font-size: 22px; color: #f85959; padding-top: 18px; line-height: 1em; } .pgc-card-buy { width: 75px; position: absolute; right: 0; top: 50px; color: #406599; font-size: 14px; text-align: center; } .pgc-buy-text { padding-top: 10px; } .pgc-icon-buy { height: 23px; width: 20px; display: inline-block; background: url(/uploads/image/locpvpsimage/commodity_buy_f2b4d1a.png); } 斗半匠小学通用学霸笔记语文数学英语1-6年级总复习状元手写速记 ￥38 购买 （此处已添加圈子卡片，请到今日头条客户端查看）
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